From 3D elastic and poroelastic media to 2D ones : asymptotic modeling and applications
De milieux élastiques et poroélastiques 3D à des milieux 2D : modélisation asymptotique et applications
Résumé
Three-dimension (3D) continuum media with one dimension being much smaller than the two others are omnipresent and play an important role in engineering, including, for example, plates, shells, coatings, and thin interphases in civil, mechanical, and materials engineering. One problem of primary importance and lasting interest in mechanics is that of replacing a 3D continuum medium of weak thickness by a two-dimension (2D) continuum medium of null thickness, which is equivalent to the 3D one to within an acceptable error. In spite of the fact that a great number of works dedicated to this problem have been reported, the present thesis aims to propose a novel approach which is capable of treating it in a unified, coordinate-free way and whose applications lead to new results.To achieve the aforementioned objective, a shell-like continuum medium of uniform thickness is first considered. After recalling the main elements of a coordinate-free differential geometry theory and the Hadamard relations for a curved interface, a scalar or vector field defined over the 3D shell-like continuum medium in question is then expressed in terms of the relevant 2D field defined on its middle surface by using the Taylor expansion with any desired degree of accuracy in the sense of asymptotic analysis. When transport phenomena and elasticity are concerned, the Taylor expansions in terms of the corresponding fields on the middle surface are detailed in a coordinate-free way, naturally making some important orthogonal projection operators appear. When elastic plates are considered, using the obtained Taylor expansion expression of the displacement vector field and a variational principle, a general plate model is derived, including the well-known Mindlin plate model as a particular case and holding for any elastic symmetry. When an elastic laminate plate is considered, the orthogonal projection operators are employed to homogenize it, and the simple Kirchhoff-Love plate model applied to the homogenized plate gives results comparable to those provided by the widely used complicated zigzag model. Finally, a general imperfect poroelastic interface model is established by using the Taylor expansion technique together with some appropriate orthogonal projection operators. This general model is numerically implemented by the extended finite element method and applied to the homogenization of poroelastic composites
Les milieux continus tridimensionnels (3D) avec une dimension beaucoup plus petite que les deux autres sont omniprésents et jouent un rôle important dans l’ingénierie, y compris, par exemple, des plaques, des coques, des revêtements et des interphases minces en génie civil, en génie mécanique et en génie des matériaux. Un problème de première importance et de grand intérêt en mécanique est celui de remplacer un milieu continu 3D d’une faible épaisseur par un milieu continu bidimensionnel (2D) d’épaisseur nulle qui est équivalent au milieu 3D à une erreur acceptable près. Malgré le fait qu’un grand nombre de travaux dédiés à ce problème ont été rapportés, la présente thèse a pour objectif de proposer une approche novatrice qui est capable de traiter le problème d’une façon unifiée et indépendante de tout système de coordonnées et dont les applications conduisent à de nouveaux résultats. Pour atteindre l’objectif susmentionné, un milieu continu en forme d’une coque d’épaisseur uniforme est d’abord considéré. Après avoir rappelé les éléments principaux d’une théorie de géométrie différentielle sans utiliser un système de coordonnées et les relations Hadamard pour une interface courbée, un champ scalaire ou vectoriel défini dans la coque en question est ensuite exprimé en fonction du champ 2D correspondant défini sur sa surface médiane en utilisant le développement de Taylor avec un degré de précision quelconque au sens de l’analyse asymptotique. Lorsque les phénomènes de transport et d’élasticité sont concernés, les développements de Taylor en fonction des champs correspondants sur la surface médiane sont détaillés sans utiliser un système de coordonnées, faisant apparaître naturellement certains opérateurs de projection orthogonaux importants. Quand les plaques élastiques sont en jeu, en utilisant l’expression du développement de Taylor du champ des déplacements et en faisant appel à un principe variationnel, un modèle général de plaques est dérivé, incluant le modèle de plaques de Mindlin comme un cas particulier et étant valable pour toute symétrie élastique. Lorsqu’une plaque stratifiée élastique est en question, les opérateurs de projection orthogonaux sont utilisés pour son homogénéisation, et le simple modèle de plaques de Kirchhoff-Love appliqué à la plaque homogénéisée donne des résultats comparables à ceux fournis par le modèle zigzag compliqué largement utilisé. Enfin, un modèle général d’interface poroélastique imparfaite est établi en utilisant la technique du développement de Taylor et certains opérateurs de projection orthogonaux appropriés. Ce modèle général est implémenté numériquement par la méthode des éléments finis étendus et appliqué à l’homogénéisation des composites poroélastiques
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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