Combinatorics of permutreehedra and geometry of s-permutahedra
Combinatoire des permusylvèdres et géométrie des s-permutaèdres
Résumé
In algebraic combinatorics, lattices are partially ordered sets which possess both meet and join operations. The weak order on permutations is a classical example of a lattice that has a rich combinatorial structure. This has made it a starting point from which other combinatorial objects have been defined. For this thesis, we focus on studying two different families of lattices in relation to the weak order: the permutree lattices and the s-weak order. The first part of the thesis involves the theory of lattice quotients of the weak order building upon the work of N. Reading, specifically focusing on the family of permutree quotients of the weak order. Considering them as permutrees, as done by V. Pilaud and V. Pons, we extend the technology of bracket vectors from binary trees by defining inversion and cubic vectors. The inversion vector captures the meet operation of these lattices while the cubic vector helps realizes them geometrically via a cubical configuration. Changing our point of view and studying these quotients through the minimal elements of their congruence classes, we use the Coxeter Type A description of permutations to characterize permutrees using automata. These automata capture the pattern avoidance of ijk and/or kij implied by these quotients and allow us to define algorithms which generalize stack sorting. In the case where the quotient corresponds to a Cambrian lattice we relate our automata with Coxeter sorting. We give some insight about the same phenomenon for Coxeter groups of types B and D. The second part of this thesis stems from the work of V. Pons and C. Ceballos who defined the s-weak order on s-decreasing trees where s is a sequence of non-negative integers. In the case of s=(1,ldots,1) this definition recovers the weak order. In their first article, the authors conjectured that the s-permutahedron could be realized in space as a polyhedral subdivision of a zonotope. We give a positive answer to their conjecture when s is a sequence of positive integers by defining a graph whose flow polytopes allows us to recover the s-weak order. We use techniques from flows on graphs, discrete geometry, and tropical geometry to obtain realizations of the s-permutahedron with different properties. With the idea of describing the lattice quotients of the s-weak order, we study their join-irreducibles. We introduce as well a graph operation to define an analog of permutree quotients on these lattices.
En combinatoire algébrique, les treillis sont des ensembles partiellement ordonnés qui possèdent à la fois des opérations inf et sup. L'ordre faible sur les permutations est un exemple classique de treillis qui possède une riche structure combinatoire. Cela en a fait un point de départ à partir duquel d'autres objets combinatoires ont été définis. Pour cette thèse, nous nous concentrons sur l'étude de deux familles différentes de treillis en relation avec l'ordre faible: les treillis des permusylvestres et le s-ordre faible. La première partie de la thèse concerne la théorie des quotients de treillis de l'ordre faible en s'appuyant sur le travail de N. Reading. On se concentre spécifiquement sur la famille des quotients des permusylvestres de l'ordre faible. En les considérant comme des permusylvestres, comme dans le travail de V. Pilaud et V. Pons, nous étendons la technologie des vecteurs de crochet des arbres binaires en définissant les vecteurs d'inversion et les vecteurs cubiques. Le vecteur d'inversion capture l'opération de meet de ces treillis tandis que le vecteur cubique permet de les réaliser géométriquement via une configuration cubique. En changeant de point de vue et en étudiant ces quotients à travers les éléments minimaux de leurs classes de congruence, nous utilisons la description de Coxeter de type A des permutations pour caractériser les permusylvestres avec l'aide d'automates. Ces automates capturent l'évitement de motifs ijk et/ou kij impliqués par ces quotients et nous permettent de définir des algorithmes qui généralisent le tri par pile. Dans le cas où le quotient correspond à un treillis cambrien, nous relions nos automates au tri de Coxeter. Nous donnons quelques indications sur le même phénomène pour les groupes de Coxeter de types B et D. La deuxième partie de cette thèse découle du travail de V. Pons et C. Ceballos qui ont défini le s-ordre faible sur les arbres s-décroissants où s est une séquence d'entiers positifs. Dans le cas de s=(1,ldots,1), cette définition récupère l'ordre faible. Dans leur premier article, les auteurs ont conjecturé que le s-permutaèdre pouvait être réalisé dans l'espace comme une subdivision polyédrique d'un zonotope. Nous donnons une réponse positive à leur conjecture lorsque s est une séquence d'entiers positifs en définissant un graphe dont les polytopes de flot nous permettent de récupérer le s-ordre faible. Nous utilisons des techniques de flots sur les graphes, de géométrie discrète et de géométrie tropicale pour obtenir des réalisations du s-permutaèdre avec différentes propriétés. Avec l'idée de décrire les quotients de treillis de le s-ordre faible, nous étudions leurs éléments sup-irréductibles. Nous introduisons également une opération sur les graphes pour définir un analogue des quotients de treillis des permusylvestres sur ces treillis.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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